Comment déterminer un polynôme du second degré à partir de conditions ?

En exploitant les racines connues : $a(x-x_1)(x-x_2)$ et un point

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Déterminer le polynôme du second degré $P$ tel que $P(-1) = 0$ , $P(3) = 0$ et $P(0) = 6$ .

La méthode

1
Écrire la forme factorisée : $P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ avec les racines $x_1$ et $x_2$ données.
Comment factoriser un polynôme du second degré ?Voir
2
Utiliser la condition supplémentaire (un point $P(x_0) = y_0$ ) pour calculer la valeur de $a$ .
3
Écrire l'expression finale de $P(x)$ et, si demandé, la développer.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Déterminer le polynôme du second degré $P$ tel que $P(-1) = 0$ , $P(3) = 0$ et $P(0) = 6$ .

1

Les racines sont $-1$ et $3$ , donc $P(x) = a(x + 1)(x - 3)$ .

2

$P(0) = a(0+1)(0-3) = -3a = 6$ , d'où $a = -2$ .

3

$P(x) = -2(x+1)(x-3) = -2x^2 + 4x + 6$ .

$P(x) = -2(x+1)(x-3) = -2x^2 + 4x + 6$

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Pour comprendre, passons aux exercices.

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