En montrant que l'ensemble des $M$ tels que $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$ est le cercle de diamètre $[AB]$

Déterminer l'ensemble des points $M$ vérifiant $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$ et reconnaître un cercle de diamètre $[AB]$ .

L'objectif

Déterminer l'ensemble des points $M$ vérifiant $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$ et reconnaître un cercle de diamètre $[AB]$ .

Le principe

$\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$ signifie $\vec{MA} \perp \vec{MB}$ , c'est-à-dire que l'angle $\widehat{AMB}$ est droit : $M$ est sur le cercle de diamètre $[AB]$ (angle inscrit dans un demi-cercle).

La méthode

1
Poser l'équation $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$ et introduire le milieu $I$ de $[AB]$ .
2
Développer : $MI^2 - IA^2 = 0$ , donc $MI = IA = \dfrac{AB}{2}$ .
3
Conclure que l'ensemble des points $M$ est le cercle de centre $I$ et de rayon $\dfrac{AB}{2}$ , c'est-à-dire le cercle de diamètre $[AB]$ .

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Exercice d'exemple

Soit $A(1\,;1)$ et $B(5\,;3)$ . Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$ .

Étape 1 —

Poser l'équation

\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0

et introduire le milieu

I

[AB]

$\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$ . Le milieu de $[AB]$ est $I(3\,;2)$ et $AB = \sqrt{16 + 4} = 2\sqrt{5}$ .

Étape 2 —

Développer :

MI^2 - IA^2 = 0

, donc

MI = IA = \dfrac{AB}{2}

$MI^2 = IA^2 = \left(\dfrac{2\sqrt{5}}{2}\right)^2 = 5$ , donc $MI = \sqrt{5}$ .

Étape 3 —

Conclure que l'ensemble des points

M

est le cercle de centre

I

et de rayon

\dfrac{AB}{2}

, c'est-à-dire le cercle de diamètre

[AB]

L'ensemble est le cercle de centre $I(3\,;2)$ et de rayon $\sqrt{5}$ , soit $(x-3)^2 + (y-2)^2 = 5$ .

Cercle de centre $I(3\,;2)$ et de rayon $\sqrt{5}$ : $(x-3)^2 + (y-2)^2 = 5$ .

Application guidée

Soit $A(-2\,;0)$ et $B(4\,;0)$ . Montrer que $M(1\,;3)$ vérifie $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$ .

Application autonome 1

Soit $A(0\,;0)$ et $B(6\,;0)$ . Déterminer l'ensemble des points $M(x\,;y)$ tels que $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$ et vérifier que $C(3\,;3)$ en fait partie.

Application autonome 2

Soit $A(2\,;-1)$ et $B(6\,;3)$ . Déterminer l'ensemble des points $M(x\,;y)$ tels que $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$ .

Application autonome 3

Soit $A(-3\,;2)$ et $B(5\,;-4)$ . Écrire l'équation cartésienne du cercle de diamètre $[AB]$ en utilisant $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$ .

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En montrant que l'ensemble des MMM tels que MA⃗⋅MB⃗=0\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0MA⋅MB=0 est le cercle de diamètre [AB][AB][AB]

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En montrant que l'ensemble des $M$ tels que $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$ est le cercle de diamètre $[AB]$