Comment résoudre un problème avec $\vec{MA} \cdot \vec{MB}$ ?

En montrant que l'ensemble des $M$ tels que $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$ est le cercle de diamètre $[AB]$

L'objectif

Déterminer l'ensemble des points $M$ vérifiant $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$ et reconnaître un cercle de diamètre $[AB]$ .

Le principe

$\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$ signifie $\vec{MA} \perp \vec{MB}$ , c'est-à-dire que l'angle $\widehat{AMB}$ est droit : $M$ est sur le cercle de diamètre $[AB]$ (théorème de Thalès / inscrit dans un demi-cercle).

La méthode

1
Poser l'équation $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$ et introduire le milieu $I$ de $[AB]$ .
2
Développer : $MI^2 - IA^2 = 0$ , donc $MI = IA = \dfrac{AB}{2}$ .
3
Conclure que l'ensemble des points $M$ est le cercle de centre $I$ et de rayon $\dfrac{AB}{2}$ , c'est-à-dire le cercle de diamètre $[AB]$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En montrant que l'ensemble des MMM tels que MA⃗⋅MB⃗=0\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0MA⋅MB=0 est le cercle de diamètre [AB][AB][AB]

Exemple corrigé

En montrant que l'ensemble des $M$ tels que $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$ est le cercle de diamètre $[AB]$