Comment résoudre un problème avec $\vec{MA} \cdot \vec{MB}$ ?

En montrant que l'ensemble des $M$ tels que $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$ est le cercle de diamètre $[AB]$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $A(1\,;1)$ et $B(5\,;3)$ . Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$ .

La méthode

1
Poser l'équation $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$ et introduire le milieu $I$ de $[AB]$ .
2
Développer : $MI^2 - IA^2 = 0$ , donc $MI = IA = \dfrac{AB}{2}$ .
3
Conclure que l'ensemble des points $M$ est le cercle de centre $I$ et de rayon $\dfrac{AB}{2}$ , c'est-à-dire le cercle de diamètre $[AB]$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Soit $A(1\,;1)$ et $B(5\,;3)$ . Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$ .

1

$\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$ . Le milieu de $[AB]$ est $I(3\,;2)$ et $AB = \sqrt{16 + 4} = 2\sqrt{5}$ .

2

$MI^2 = IA^2 = \left(\dfrac{2\sqrt{5}}{2}\right)^2 = 5$ , donc $MI = \sqrt{5}$ .

3

L'ensemble est le cercle de centre $I(3\,;2)$ et de rayon $\sqrt{5}$ , soit $(x-3)^2 + (y-2)^2 = 5$ .

Cercle de centre $I(3\,;2)$ et de rayon $\sqrt{5}$ : $(x-3)^2 + (y-2)^2 = 5$ .

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Pour comprendre, passons aux exercices.

Comment résoudre un problème avec $\vec{MA} \cdot \vec{MB}$ ?

En montrant que l'ensemble des $M$ tels que $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$ est le cercle de diamètre $[AB]$