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Comment calculer une longueur à l'aide du produit scalaire ?

En développant ∥AB⃗∥2=AB⃗⋅AB⃗\|\vec{AB}\|^2 = \vec{AB} \cdot \vec{AB} avec une décomposition adaptée

L'objectif

Calculer une longueur ABAB lorsque les coordonnées ne sont pas directement disponibles mais que des informations vectorielles le sont.

Le principe

On utilise AB2=∥AB⃗∥2=AB⃗⋅AB⃗AB^2 = \|\vec{AB}\|^2 = \vec{AB} \cdot \vec{AB} en décomposant AB⃗\vec{AB} à l'aide de la relation de Chasles, puis on développe avec la bilinéarité du produit scalaire.

La méthode
  1. 1
    Décomposer AB⃗\vec{AB} comme somme ou différence de vecteurs dont on connaît les normes et/ou les produits scalaires (par ex. AB⃗=AO⃗+OB⃗\vec{AB} = \vec{AO} + \vec{OB}).
  2. 2
    Développer ∥AB⃗∥2=AB⃗⋅AB⃗\|\vec{AB}\|^2 = \vec{AB} \cdot \vec{AB} en utilisant la bilinéarité et la symétrie du produit scalaire.
  3. 3
    Remplacer chaque produit scalaire par sa valeur connue, calculer et conclure en prenant la racine carrée.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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