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Comment étudier la dérivabilité de la fonction valeur absolue ?

En étudiant le taux de variation en 00 à gauche et à droite

L'objectif

Prouver qu'une fonction n'est pas dérivable en un point en exhibant deux demi-tangentes distinctes.

Le principe

Une fonction est dérivable en aa si et seulement si lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} existe ; si les limites à gauche et à droite diffèrent, la fonction n'est pas dérivable en aa.

La méthode
  1. 1
    J'écris la fonction par morceaux : ∣x∣=x|x| = x si x≥0x \geq 0 et ∣x∣=−x|x| = -x si x<0x < 0.
  2. 2
    Je calcule le taux de variation f(0+h)−f(0)h=∣h∣h\frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \frac{|h|}{h} pour h>0h > 0 (limite =1= 1) et pour h<0h < 0 (limite =−1= -1).
  3. 3
    Je conclus : les deux limites sont distinctes (1≠−11 \neq -1), donc ff n'est pas dérivable en 00. Graphiquement, la courbe présente un point anguleux.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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