En appliquant $(u/v)' = (u'v - uv')/v^2$

Calculer la dérivée d'un quotient $\frac{u}{v}$ de deux fonctions.

L'objectif

Calculer la dérivée d'un quotient $\frac{u}{v}$ de deux fonctions.

Le principe

Si $u$ et $v$ sont dérivables et $v$ ne s'annule pas, alors $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ .

La méthode

1
J'identifie $u$ (numérateur) et $v$ (dénominateur), et je vérifie que $v$ ne s'annule pas sur le domaine.
2
Je calcule $u'$ et $v'$ séparément.
3
J'applique $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ : je calcule $u'v$ et $uv'$ , je soustrais, puis je simplifie.

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Exercice d'exemple

Calculer la dérivée de $f(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$ sur $]2\,;+\infty[$ .

Étape 1 —

J'identifie

u

(numérateur) et

v

(dénominateur), et je vérifie que

v

ne s'annule pas sur le domaine.

On pose $u(x) = x + 1$ et $v(x) = x - 2$ . Sur $]2\,;+\infty[$ , $v(x) > 0$ .

Étape 2 —

Je calcule

u'

v'

séparément.

On calcule $u'(x) = 1$ et $v'(x) = 1$ .

Étape 3 —

J'applique

\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

: je calcule

u'v

uv'

, je soustrais, puis je simplifie.

On applique : $f'(x) = \frac{1 \times (x - 2) - (x + 1) \times 1}{(x - 2)^2} = \frac{x - 2 - x - 1}{(x - 2)^2} = \frac{-3}{(x - 2)^2}$ .

$f'(x) = \frac{-3}{(x - 2)^2}$

Application guidée

Calculer la dérivée de $f(x) = \frac{x^2}{x + 1}$ sur $]-1\,;+\infty[$ .

Application autonome 1

Calculer la dérivée de $f(x) = \frac{2x + 3}{x^2 + 1}$ .

Application autonome 2

Calculer la dérivée de $f(x) = \frac{x^3 - 1}{2x + 1}$ sur $\left]-\frac{1}{2}\,;+\infty\right[$ .

Application autonome 3

Calculer la dérivée de $f(x) = \dfrac{3x - 5}{x^2 + 4}$ sur $\mathbb{R}$ .

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