Comment dériver $x \mapsto x^n$ pour $n$ entier relatif ?

En appliquant $(x^n)' = nx^{n-1}$ pour $n \in \mathbb{Z}$

Dériver une puissance $x^n$ pour tout entier relatif $n$ .

L'objectif

Dériver une puissance $x^n$ pour tout entier relatif $n$ .

Le principe

Pour tout $n \in \mathbb{Z}$ , la dérivée de $x \mapsto x^n$ est $x \mapsto nx^{n-1}$ (sur un intervalle où la fonction est définie).

La méthode

1
J'écris l'expression sous la forme $x^n$ en identifiant l'exposant $n$ (y compris négatif : $\frac{1}{x^k} = x^{-k}$ ).
2
J'applique la formule $(x^n)' = nx^{n-1}$ .
3
Je simplifie le résultat et, si besoin, je reviens à une écriture fractionnaire.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer la dérivée de $f(x) = x^{-2}$ sur $]0\,;+\infty[$ .

Étape 1 —

J'écris l'expression sous la forme

x^n

en identifiant l'exposant

n

(y compris négatif :

\frac{1}{x^k} = x^{-k}

On a $f(x) = x^{-2}$ avec $n = -2$ .

Étape 2 —

J'applique la formule

(x^n)' = nx^{n-1}

On applique : $f'(x) = -2x^{-2-1} = -2x^{-3}$ .

Étape 3 —

Je simplifie le résultat et, si besoin, je reviens à une écriture fractionnaire.

On simplifie en écriture fractionnaire : $f'(x) = -\frac{2}{x^3}$ .

$f'(x) = -\frac{2}{x^3}$

Application guidée

Calculer la dérivée de $f(x) = \frac{1}{x^4}$ sur $]0\,;+\infty[$ .

Application autonome 1

Calculer la dérivée de $f(x) = x^{-1} + x^{-3}$ sur $]0\,;+\infty[$ .

Application autonome 2

Calculer la dérivée de $f(x) = x^5$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 3

Calculer la dérivée de $f(x) = \dfrac{3}{x^2}$ sur $]0\,;+\infty[$ .

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