En dérivant la fonction inverse

Calculer la dérivée de la fonction inverse et l'appliquer.

L'objectif

Calculer la dérivée de la fonction inverse et l'appliquer.

Le principe

Si $f(x) = \frac{1}{x}$ pour $x \neq 0$ , alors $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$ . Ce résultat se démontre par la définition.

La méthode

1
Je reconnais la fonction inverse $f(x) = \frac{1}{x}$ (définie pour $x \neq 0$ ).
2
J'applique la formule : $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$ .
3
Si demandé, j'évalue $f'(a) = -\frac{1}{a^2}$ pour la valeur donnée.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $f(x) = \frac{1}{x}$ . Calculer $f'(x)$ puis $f'(2)$ .

Étape 1 —

Je reconnais la fonction inverse

f(x) = \frac{1}{x}

(définie pour

x \neq 0

La fonction est $f(x) = \frac{1}{x}$ , définie pour $x \neq 0$ : c'est la fonction inverse.

Étape 2 —

J'applique la formule :

f'(x) = -\frac{1}{x^2}

$f'(x) = -\frac{1}{x^2}$ .

Étape 3 —

Si demandé, j'évalue

f'(a) = -\frac{1}{a^2}

pour la valeur donnée.

$f'(2) = -\frac{1}{2^2} = -\frac{1}{4}$ .

$f'(x) = -\frac{1}{x^2}$ et $f'(2) = -\frac{1}{4}$ .

Application guidée

Retrouver que la dérivée de $f(x) = \frac{1}{x}$ est $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$ en utilisant la définition.

Application autonome 1

Soit $f(x) = \frac{1}{x}$ . Calculer $f'(-3)$ .

Application autonome 2

Soit $f(x) = \dfrac{1}{x}$ . Déterminer l'équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $x_0 = 4$ .

Application autonome 3

En quel(s) point(s) la courbe de $f(x) = \dfrac{1}{x}$ admet-elle une tangente de coefficient directeur $-\dfrac{1}{25}$ ?

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